ejercicios de integrales

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EJERCICIOS CALCULO INTEGRAL

Unidad 4 Histograma

Grafico de Control Tipo C

Nelson rules que aparecen en el grafico :
Rule 5 Two (or three) out of three points in a row are more than 2 standard deviations from the mean in the same direction.
Rule 6 Four (or five) out of five points in a row are more than 1 standard deviation from the mean in the same direction.

Vectores

1.-DIFERENCIA ENTRE UN ESCALAR Y UN VECTOR 
Una cantidad escalar es un simple numero como la masa el volumen etc.. tan simple como el numero de alumnos de un salón.
Mientras que un vector es una magnitud mas una dirección, por ejemplo el desplazamiento. Se representa con una linea y una flecha, donde la linea indica la magnitud (el numero) y la flecha la dirección.
 EJEMPLOS
Vectores:
Versor (î)
Posición (r)
Velocidad (v)

Escalares:
Masa (m)
Tiempo (t)
Longitud (L)

2.-VECTOR UNITARIO
Es un vector sin dimensiones que tiene una magnitud de exactamente uno (1). Los vectores unitarios se usan para especificar una dirección conocida y no tienen otro significado físico. Se usaran los símbolos i, j, k, para representar los vectores unitarios que apuntan a las direcciones x, y  z.

3.- EFECTÚA LAS SIGUIENTES OPERACIONES CON LOS VECTORES INDICADOS

A) 5,19,12

B)-19,6,-12

C) 12,-19,-7

1.-  a + b + c

2.-  a-b

3.-  a x c

4.-  a . b
5.-  a x b





SOLUCION                        1 (5+19+12)i   (-19+6-12)j  (12-19-7)k       2 (5+19)i (-19+6)j (12-19)k
A-      5i    19j  12k                               36i  + 25j -14k                                             24i-13j-7k
B-    -19i  6j  -12k
C-      12i   -19j  -7k                 3 (5*12)i  (-19*-12)j (12*-7)k       4    95i +13j -228k 
                                                                  60i   + 228j  -84k
                                                                                                                  5  95i +13j -228k 




4.- EXPLICA EL PROCEDIMIENTO SEGUIDO EN CADA UNA DE LAS OPERACIONES ANTERIORES.

1.- Primero se saca con la sumatoria de las primeras tres ecuaciones que nos dieron osea A B y C se suman pero primero lo de adentro ya después de eso tendremos  el resultado de i j k

2.- En  la segunda operaciones tendremos que restar a -b ya que tenemos la tabla donde nos determina cual es a y b podremos deducir como hacer las operaciones y restamos a  - b de uno por uno y así también nos dará el resultado de i j k 

3.- En la tercera operación realizamos lo mismo que en la operación dos. Pero ahora utilizaremos los valores de a y c 

4.-En la cuarta operación se acomodan los productos de a y b uno con otro para poder sacar la operación de uno por uno e igual sacar el resultado de i j k

5.-En la quinta operación obtendremos los resultados de a multiplicando b en el mismo paréntesis dentro de el y sacar cada resultado de cada paréntesis ya cuando tengamos cada resultado le daremos el valor que corresponde a i j k 

5.- RESUELVE EL MÉTODO GRÁFICO CON LAS SIGUIENTES OPERACIONES CON LOS VECTORES INDICADOS. 

a) 19, -12         1.-    a + b + c

b) 6, -12           2.-    a+b -c

c)  -19, 12         3.-    a-b+c

                          4.-    -a+b+c

EJERCICIOS 3 Y 4

PUNTOS NOTABLES DE UN TRIANGULO

Alturas de un triángulo

Altura es cada una de las rectas perpendiculares trazadas desde un vértice al lado opuesto (o su prolongación).

Ortocentro

Es el punto de corte de las tres alturas.

Medianas de un triángulo

Mediana es cada una de las rectas que une el punto medio de un lado con el vértice opuesto.

Baricentro

Es el punto de corte de las tres medianas.
El baricentro divide a cada mediana en dos segmentos, el segmento que une el baricentro con el vértice mide el doble que el segmento que une baricentro con el punto medio del lado opuesto.

      BG = 2GA

Mediatrices de un triángulo

Mediatriz es cada una de las rectas perpendiculares trazadas a un lado por su punto medio.

Circuncentro

 

Es el punto de corte de las tres mediatrices.
Es el centro de una circunferencia circunscrita al triángulo.

Bisectrices de un triángulo

Bisectriz es cada una de las rectas que divide a un ángulo en dos ángulos iguales.

Incentro

 

Es el punto de corte de las tres bisetrices.
Es el centro de una circunferencia inscrita en el triángulo.

Recta de Euler

El ortocentro, el baricentro y el circuncentro de un triángulo no equilátero están alineados; es decir, pertenecen a la misma recta, llamada recta de Euler.

PROPIEDADES DE FIGURAS GEOMETRICAS

Triangulo:

El triángulo es un polígono formado por tres lados y tres ángulos. La suma de todos sus ángulos siempre es 180 grados.

Para calcular el área se emplea la siguiente fórmula:

Área del triángulo = (base x altura) / 2

(tipos de triángulos: Isósceles, escaleno y equilátero)

Cuadrado:

El cuadrado es un polígono de cuatro lados, con la particularidad de que todos ellos son iguales. Además sus cuatro ángulos son de 90 grados cada uno.

El área de esta figura se calcula mediante la fórmula:

Área del cuadrado = lado al cuadrado

Rectángulo:

El rectángulo es un polígono de cuatro lados, iguales dos a dos. Sus cuatro ángulos son de 90 grados cada uno.

El área de esta figura se calcula mediante la fórmula:

Área del rectángulo = base.altura

Rombo:

El rombo es un polígono de cuatro lados iguales, pero sus cuatro ángulos son distintos de 90º.

El área de esta figura se calcula mediante la fórmula:

Área del rombo= (diagonal mayor x diagonal meno)/ 2

Trapecio:

El trapecio es un polígono de cuatro lados, pero sus cuatro ángulos son distintos de 90º.

El área de esta figura se calcula mediante la fórmula:

Área del trapecio = [(base mayor + base menor).altura] / 2

Paralelogramo:

El paralelogramo es un polígono de cuatro lados paralelos dos a dos.

El área de esta figura se calcula mediante la fórmula:

Área del paralelogramo = base.altura

Pentágono:

El pentágono regular es un polígono de cinco lados iguales y cinco ángulos iguales.

El área de esta figura se calcula mediante la fórmula:

Área del pentágono = (perímetro x apotema) / 2

Hexágono:

El hexágono regular es un polígono de seis lados iguales y seis ángulos iguales.

Los triángulos formados, al unir el centro con todos los vértices, son equiláteros.

El área de esta figura se calcula mediante la fórmula:

Área del hexágono = (perímetro x apotema) / 2

Circulo:

El círculo es la región delimitada por una circunferencia, siendo ésta el lugar geométrico de los puntos que equidistan del centro.

El área de esta figura se calcula mediante la fórmula:

Área del círculo = 3'14. radio al cuadrado

RECTANGULO ÀUREO

RECTANGULO ÀUREO

Un rectángulo cuyos lados están en una proporción igual a la razón áurea es llamado un rectángulo áureo. Este es un rectángulo muy especial como veremos. Los griegos lo consideraban de particular belleza y lo utilizaron asiduamente en su arquitectura. Al parecer a la mayoría de las personas también les parece más agradable a la vista un rectángulo con esas proporciones entre sus lados, inconscientemente se diseñan infinidad de cosas que resultan tener la forma de un rectángulo áureo: las hojas de papel tamaño carta miden 11 x 8 pulgadas, por ejemplo; esto nos da la proporción 1.37 que se parece a la razón aurea. Sólo por curiosidad, invitamos al lector a que mida y obtenga las proporciones de las ventanas de su casa, de su cuadro preferido, del mueble que más le agrada, muy probablemente serán rectángulos áureos

Un rectángulo especial es el llamado rectángulo áureo. Se trata de un rectángulo armonioso en sus dimensiones.

Dibujamos un cuadrado y marcamos el punto medio de uno de sus lados. Lo unimos con uno de los vértices del lado opuesto y llevamos esa distancia sobre el lado inicial, de esta manera obtenemos el lado mayor del rectángulo.

 Si el lado del cuadrado vale 2 unidades, es claro que el lado mayor del rectángulo vale base.gif por lo que la proporción entre los dos lados.

 A este número se le llama número de oro, se representa por el símbolo Ø y su valor es 1,61803..., lo obtuvieron los griegos al hallar la relación entre la diagonal de un pentágono y el lado. El nombre de "número de oro" se debe a Leonardo da Vinci.

 En "el hombre ideal" de Leonardo, el cociente entre el lado del cuadrado y el radio de la circunferencia que tiene por centro el ombligo, es el número de oro.

 Otra propiedad de este rectángulo es que si se colocan dos iguales como en la figura de la derecha, se forma otro rectángulo áureo más grande.

Los egipcios ya conocían esta proporción y la usaron en la arquitectura de la pirámide de Keops (2600 años a.C.).

Aparece en pinturas de Dalí, en la Venus de Boticelli. Esta razón también la usaron en sus producciones artistas del Renacimiento. En España, en la Alhambra, en edificios renacentistas como El Escorial ... y en la propia Naturaleza en las espirales de las conchas de ciertos moluscos.

Los griegos también la usaron en sus construcciones, especialmente El Partenón, cuyas proporciones están relacionadas entre sí por medio de la razón áurea.

El símbolo Ø para la relación áurea fue elegido por el matemático americano Mark Barr. La letra fue elegida porque era la primera del nombre de Phidias que solía usar la relación áurea en sus esculturas.

También se ha usado en el diseño del DNI, en la construcción de muebles, marcos para ventanas, camas, etc.

   El rectángulo áureo tiene una propiedad muy interesante. A partir de él podemos obtener una infinidad de nuevos rectángulos áureos. El proceso es iterativo (recursivo diría alguien dedicado a la computación) y consiste en quitar a cada rectángulo áureo un cuadrado, la superficie que queda luego de hacer esto es un nuevo rectángulo áureo

Un rectángulo cuyos lados están en una proporción igual a la razón áurea es llamado un rectángulo áureo. Este es un rectángulo muy especial como veremos. Los griegos lo consideraban de particular belleza y lo utilizaron asiduamente en su arquitectura. Al parecer a la mayoría de las personas también les parece más agradable a la vista un rectángulo con esas proporciones entre sus lados, inconscientemente se diseñan infinidad de cosas que resultan tener la forma de un rectángulo áureo.

  Es fácil construir un rectángulo áureo a partir de un segmento de recta inicial, trazarle la mediatriz, formar un cuadrado a partir del segmento y luego hacer una circunferencia con radio el tramo que va desde el punto  medio del segmento hasta el vértice superior derecho.

La Proporción Aurea, también conocida como Razón Aurea, Proporción Divina, Número Dorado, etc. es aquella que cumple que la relación entre el sector mayor y el sector menor es igual a la relación entre la suma de las partes y la mayor de ellas.
O sea:
Vale aproximadamente ocho quintos.

· Esta relación numérica posee importantes propiedades matemáticas, fue estudiada por Leonardo da Vinci, Luca Paccioli, Robin Cook, Johannes Kepler y Pitágoras entre otros.
· Se dice que esta proporción es la esencia de la belleza, que aquellas figuras que poseen la proporción aurea nos resultan las más bellas de todas las formas, podemos apreciarla en la naturaleza por ej. en los caparazones de ciertos moluscos: También se encuentra en el cuerpo humano, en las personas de mayor atractivo.
 

 Se dibuja un cuadrado, desde el punto medio de una de sus aristas se gira el vértice opuesto hasta la prolongación de la arista inicial

También lo podemos demostrar de forma analítica con los siguientes cálculos, la división entre el largo y el ancho es, 7.84/4.5=1,7422222, por tanto no cumple con un rectángulo áureo.

CAJETILLA DE TABACO

También supuesta mente una cajetilla de tabaco posee las medidas de un rectángulo áureo

TARJETA DE CRÉDITO. DNI ELECTRÓNICO

Otro ejemplo es una tarjeta de crédito de circulación legal por España. Sus dimensiones coinciden con las del DNI electrónico ¿podría cumplir las medidas, o No?

Por último podemos comprobar que las figuras que más se parecen son la de la tarjeta y una cajetilla de tabaco, además es necesario decir que los cálculos están afectados con un margen de error, pues las longitudes fueron medidas con un calibre de precisión de ±o.o2cm.

Por cierto el número áureo es Ф≈1.61808033989